Class 12th Maths Half Yearly Paper 2025 Mp Board : Direct Link.

ऐसे छात्र जो की कम समय में अर्धवार्षिक परीक्षा की तैयारी करने के विचार में है, तो उन छात्रों के लिए इस आर्टिकल के माध्यम से हम अर्धवार्षिक परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण प्रश्न और class 12th maths half yearly paper 2025 mp board के मॉडल पेपर की पीडीएफ फ़ाइल डाउनलोड करने का तरीका बताने वाले है | जैसा कि देखा जाए तो अब आर्धवर्षिक परीक्षा को लेकर छात्रों के पास अब बहुत कम समय मात्र शेष रह गया है | तो अंतिम समय में तैयारी के साथ इन प्रश्नों के उत्तर को याद करना इससे अच्छा विकल्प और कोई नहीं हो सकता |

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यहाँ Madhya Pradesh Board of Secondary Education (MPBSE) कक्षा 12वीं गणित (Maths) विषय के लिए अध्याय-वार लगभग 50 महत्वपूर्ण प्रश्नों की सूची दी जा रही है — जिन्हें हाफ-इयरली / आंशिक परीक्षाओं के लिए याद रखना लाभदायक होगा।

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अध्याय-वार महत्वपूर्ण प्रश्न सूची

अध्याय 1: संबंध एवं फलन (Relations & Functions)

1. (f\colon \mathbb R \to \mathbb R, f(x)=5x-7) के लिए (f^{-1}(a)) खोजिए।
2. एक बायनरी ऑपरेशन * परिभाषित है (ab=3a+4b-2). इस पर (45) एवं क्या यह ऑपरेशन सममित (commutative) एवं संचयी (associative) है, निर्णय करें।
3. सेट (A={1,2,3}) पर उस सम्बन्ध (relation) R की संख्या बताइए जिसमें ((1,2)) अवश्य हो।

अध्याय 2: प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (Inverse Trigonometric Functions)

4. (\sin^{-1}) का क्षेत्र (range) क्या है? एक उदाहरण सहित समझाइए।
5. (\tan^{-1}1 + \tan^{-1}2 + \tan^{-1}3) का मान निकालिए।
6. (\cos^{-1}x + \sin^{-1}x =\ ?) (उचित शर्तों में)

अध्याय 3: आव्यूह (Matrices)

7. (A=\begin{pmatrix}2&3\1&4\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}1&0\2&-1\end{pmatrix}) के लिए (AB) एवं (BA) निकालिए। क्या (AB=BA) होगा?
8. (2\times2) मेट्रिक्स का इनवर्स निकालिए यदि संभव हो।
9. एक मैट्रिक्स ऐसे दो मेट्रिक्स दीजिए जिनका गुणन (0) मैट्रिक्स हो, परंतु दोनों शून्य मैट्रिक्स न हों।

अध्याय 4: सारणिक (Determinants)

10. (\begin{vmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9\end{vmatrix}) का मान निकालिए।
11. स्थिरता व अस्थिरता (Consistency/Inconsistency) का उपयोग करते हुए तीन समीकऱणों की प्रणाली हल कीजिए।
12. ट्रायंगल के क्षेत्रफल के लिए 3×3 डिटरमिनेंट का उपयोग दिखाइए।

अध्याय 5A: सांतत्य तथा अवकलनीयता (Continuity & Differentiability)

13. (f(x)=\begin{cases}x^2 & x\le2\4x-4 & x>2\end{cases}) पर बताइए कि क्या (f) अविरत (continuous) है?
14. (f(x)=|x-3|) पर अवकलनीयता (differentiability) जगों का विश्लेषण कीजिए।
15. “यदि फलन अवकलनीय है, तो अविरत आवश्यक है” इस कथन की पुष्टि कीजिए।

अध्याय 5B: अवकलन (Differentiation)

16. (y=\sin x\sqrt{x}) का (\dfrac{dy}{dx}) निकालिए।
17. प्रथम सिद्धांत (first-principle) द्वारा (\dfrac{d}{dx}(\sin x)) निकालिए।
18. (x^3+3x^2+2x=0) का ग्राफ़ निकालने के लिए (\dfrac{dy}{dx}) का प्रयोग कीजिए।

अध्याय 6: अवकलज के अनुप्रयोग (Application of Derivatives)

19. (y=x^2e^{-x}) के लिए अधिकतम और न्यूनतम मान निकालिए।
20. (x) और (y) का संबंध (y^2=x^3) है। जब (x) की दर परिवर्तन (5) इकाई/सेकेंड है, तब (y) की दर परिवर्तन क्या होगी यदि (x=4,y=\sqrt{4^3}=8)?
21. किसी आयताकार शीट की लंबाई तेजी से बदल रही है; इसका क्षेत्रफल कैसे बदल रहा होगा—उदाहरण सहित।

अध्याय 7A: समाकलन (Integration)

22. (\int x\sin x,dx) निकालिए।
23. (\int \dfrac{1}{x\ln x}dx) की विधि लिखिए।
24. विभव सीमाओं (limits) सहित (\int_0^{\pi/2}\sin^2x,dx) निकालिए।

अध्याय 7B: निश्चित समाकलन (Definite Integrals)

25. (\int_{1}^{2}(3x^2+2x),dx) निकालिए।
26. क्षेत्रफल के प्रतीक के रूप में निश्चित समाकलन का उपयोग स्पष्ट कीजिए।
27. (\int_{0}^{1}(x^3-1),dx) का मान निकालिए।

अध्याय 8: समाकलनों के अनुप्रयोग (Applications of Integrals)

28. (y=x^2) व (x=y^2) के बीच बंद क्षेत्र का क्षेत्रफल निकालिए।
29. घुघुट पटी (revolve strip) द्वारा घेरा गया घनफल (volume) निकालिए जब (y=x) को (x)-अक्ष के चारों ओर घुमाया जाए।
30. किसी वक्र की लंबवत् बढ़ोतरी (arc length) निकालिए: (y=\dfrac{x^3}{3}) के लिए (0) से (1)।

अध्याय 9: अवकल समीकरण (Differential Equations)

31. सरल अवकल समीकरण (\dfrac{dy}{dx}+3y=6x) हल कीजिए।
32. पृथकनीय अवकल समीकरण (separable) (\dfrac{dy}{dx}=xy^2) हल कीजिए।
33. द्वितीय क्रम अवकल समीकरण का एक उदाहरण दीजिए और हल का तरीका संक्षिप्त लिखिए।

अध्याय 10: सदिश बीजगणित (Vector Algebra)

34. (\vec{a}=3\hat{i}+4\hat{j}, \vec{b}=4\hat{i}-3\hat{j}) के लिए (\vec{a}\cdot\vec{b}) व (\vec{a}\times\vec{b}) निकालिए।
35. तीन बिंदुओं (A(1,2,3),B(2,3,4),C(3,4,5)) के लिए यह निर्णय कीजिए कि यह सह-रेखा (collinear) हैं या नहीं।
36. वektor (\vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}) परिपथ (sphere) (x^2+y^2+z^2=9) के लिए वेक्टर समीकरण लिखिए।

अध्याय 11: त्रि-विमीय ज्यामिति (Three Dimensional Geometry)

37. रेखा ( \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y+2}{-1} = \dfrac{z-3}{1} ) और समतल (2x+y-3z+4=0) के बीच दूरी निकालिए।
38. दो बिंदुओं ((1,2,3)) व ((4,0,5)) के लिए मध्य-बिंदु सूत्र से मध्य-बिंदु लिखिए।
39. समीकरण (x^2+y^2+z^2-4x+6y-8z+9=0) को केंद्र एवं त्रिज्या के रूप में लिखिए।

अध्याय 12: रैखिक प्रोग्रामन (Linear Programming)

40. निम्न रैखिक असम समीकरणों के लिए क्षेत्र निर्धारित कीजिए: (x+y\le6,; x\ge0,; y\ge0).
41. अधिकतम और न्यूनतम मान निकालिए जब (P=4x+5y) subject to (2x+3y\le12,; x+y\ge2,; x,y\ge0)।
42. सरल ग्राफिकल विधि द्वारा (z=3x+4y) की अधिकतमता खोजिए जबConstraints (x+2y\le8,; x\ge0,; y\ge0) हो।

अध्याय 13: प्रायिकता (Probability)

43. एक पत्ती 52 पत्तों वाले पैक से खींची गई; यहाँ राजा या एेस (ace) आने की संभावना क्या है?
44. एक सिक्का दो बार उछाला गया; दोनों बार हेड आने की संभावना लिखिए।
45. बहु-घटना (compound event) की परिभाषा दीजिए व उदाहरण लिखिए।

मिश्रित पुनरावलोकन-प्रश्न

46. (\int \frac{\cos(\log x)}{x}dx) निकालिए।
47. ( \dfrac{dy}{dx}) पहली सिद्धांत द्वारा निकालिए जब (y=x\sin x)。
48. कोई दो बायनरी ऑपरेशन उदाहरण दीजिए — एक सममित व एक असममित।
49. वेक्टर (\vec{a}=5\hat{i}+15\hat{j},;\vec{b}=3\hat{i}+9\hat{j}) समान्तर क्यों हैं?
50. सरल समीकरण प्रणाली (x+2y=3,; 2x+4y=6) के लिए समाधान की स्थिति (unique/infinite/none) बताइए तथा कारण लिखिए।

यह रहा MP Board Class 12 Maths Half-Yearly Exam 2025 (Mock Paper) —
यह प्रश्नपत्र MPBSE 2024–25 सिलेबस और NCERT पैटर्न पर आधारित है।

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📘 MP Board Class 12 – Mathematics Half-Yearly Exam 2025 (Mock Paper)

Time: 3 Hours  Maximum Marks: 100

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Section A – Objective Type Questions (1 Mark each)

(Attempt any 10)

1. Relation (R = {(a,b): a,b \in N, a-b \text{ is even}}) क्या सममित (symmetric) है?
2. (f(x) = 3x + 2) का व्युत्क्रम फलन (f^{-1}(x)) ज्ञात कीजिए।
3. (\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)) का मान निकालिए।
4. यदि (A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}), तो (|A|) ज्ञात कीजिए।
5. किसी फलन का अवकलन किसे कहते हैं?
6. ( \dfrac{d}{dx}(\tan x) ) का मान लिखिए।
7. (\int x^2 dx = ?)
8. Probability of getting head in a single coin toss = ?
9. Unit vector along ( \vec{a} = 3\hat{i} + 4\hat{j} ) ज्ञात कीजिए।
10. (x^2 + y^2 = 25) वृत्त का केंद्र और त्रिज्या लिखिए।

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Section B – Short Answer Type Questions (2 Marks each)

(Attempt any 10)

11. एक समुच्चय (A = {1,2,3}) के कितने संबंध (relations) हो सकते हैं?
12. (\cos^{-1}x + \sin^{-1}x = \frac{\pi}{2}) सिद्ध कीजिए।
13. यदि (A=\begin{pmatrix}1&2\0&1\end{pmatrix}) तो (A^{-1}) ज्ञात कीजिए।
14. (\begin{vmatrix}2&3\4&5\end{vmatrix}) का मान निकालिए।
15. (f(x)=x^3-3x^2+2x+5) के लिए (f'(x)) निकालिए।
16. (y=\sin x \cos x) के लिए (\frac{dy}{dx}) ज्ञात कीजिए।
17. (\int e^x,dx = ?)
18. (x) और (y) के लिए अवकल समीकरण (\frac{dy}{dx}=3x^2) हल कीजिए।
19. यदि (\vec{a}=\hat{i}+2\hat{j}) तथा (\vec{b}=3\hat{i}+4\hat{j}), तो (\vec{a}\cdot\vec{b}) ज्ञात कीजिए।
20. (P(E) = 0.4, P(F) = 0.5, P(E \cap F) = 0.2); (P(E \cup F)) ज्ञात कीजिए।

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Section C – Long Answer Type (3 Marks each)

(Attempt any 8)

21. (f(x)=|x|) का ग्राफ बनाकर दिखाइए कि (x=0) पर फलन अवकलनीय नहीं है।
22. (f(x)=\begin{cases}x^2 & x\le1\2x-1 & x>1\end{cases}) के लिए बताइए कि फलन (x=1) पर सतत (continuous) है या नहीं।
23. यदि (y=x^x), तो (\frac{dy}{dx}) निकालिए।
24. सिद्ध कीजिए कि ( \int \frac{1}{x^2+1}dx = \tan^{-1}x + C)
25. (\int_0^{\pi/2} \sin^2x ,dx) का मान निकालिए।
26. एक वक्र (y=x^2) पर (x=2) पर स्पर्शरेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
27. (y^2=4x) और (x=4) के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
28. रेखा (\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-3}{4}) का दिशा अनुपात ज्ञात कीजिए।
29. (\vec{a}=2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}), (\vec{b}=-\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}) के लिए (\vec{a}\times\vec{b}) निकालिए।

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Section D – Very Long Answer Type (5 Marks each)

(Attempt any 4)

30. निम्न मैट्रिक्स समीकरण हल कीजिए:
    [
    \begin{pmatrix}2&3\1&2\end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}
    =
    \begin{pmatrix}5\4\end{pmatrix}
    ]
31. फलन (f(x)=x^3-3x^2+2) के लिए अधिकतम एवं न्यूनतम बिंदु ज्ञात कीजिए।
32. सिद्ध कीजिए कि
    [
    \int_0^{\pi/2} \sin x,dx = \int_0^{\pi/2} \cos x,dx
    ]
33. रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या हल कीजिए:
    अधिकतम करें (Z = 3x + 2y)
    शर्तें:
    [
    x + y \le 4,; x \ge 0,; y \ge 0
    ]
34. यदि तीन बिंदु A(1,2,3), B(2,3,5), C(3,5,8) दिए हों, तो इनकी सहरेखीयता (collinearity) जाँचिए।

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Section E – Application & Probability (5 Marks each)

(Attempt any 2)

35. किसी थैले में 5 लाल और 3 नीली गेंदें हैं। दो गेंदें एक साथ निकाली जाती हैं। दोनों लाल होने की संभावना क्या है?
36. (X) एक यादृच्छिक चर है जिसका वितरण इस प्रकार है:

x	0	1	2	3
P(X=x)	0.1	0.3	0.4	0.2

Mean और Variance ज्ञात कीजिए।

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